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行测数量关系:“两数之差”问题之解答技巧

2010-05-27 14:53  来源:       我要纠错 | 打印 | 收藏 | | |

    鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”,如果把条件换成“两数之差”,又应该怎样去解呢?

    例7 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张?

    解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多。

    (680-8×40)÷(8+4)=30(张),这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张。

    因此8分邮票有40+30=70(张)。

    答:买了8分的邮票70张,4分的邮票30张。

    也可以用任意假设一个数的办法。

    解二:譬如,假设有20张4分,根据条件“8分比4分多40张”,那么应有60张8分。以“分”作为计算单位,此时邮票总值是4×20+8×60=560.比680少,因此还要增加邮票。为了保持“差”是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是:

    (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张)。

    因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张)。

    例8 一项工程,如果全是晴天,15天可以完成。倘若下雨,雨天一天工程要多少天才能完成?

    解:类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份。用上一例题解一的方法,晴天有

    (150-8×3)÷(10+8)= 7(天)。

    雨天是7+3=10天,总共7+10=17(天)。

    答:这项工程17天完成。

    请注意,如果把“雨天比晴天多3天”去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题。差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个。这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系。

    总脚数是“两数之和”,如果把条件换成“两数之差”,又应该怎样去解呢?

    例9 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只?

    解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍。

    兔的只数是:(100+28÷2)÷(2+1)=38(只)。

    鸡是:100-38=62(只)。

    答:鸡62只,兔38只。

    当然也可以去掉兔28÷4=7(只)。兔的只数是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只)。

    也可以用任意假设一个数的办法。

    解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只)。此时脚数之差是:

    4×50-2×50=100,

    比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了)。为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2)。因此要减少的兔数是:

    (100-28)÷(4+2)=12(只)。

    兔只数是:

    50-12=38(只)。

    另外,还存在下面这样的问题:总头数换成“两数之差”,总脚数也换成“两数之差”。

    例10 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字。有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字。问两种诗各多少首。

    解一:如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差

    13×5×4+20=280(字)。

    每首字数相差:7×4-5×4=8(字)。

    因此,七言绝句有:28÷(28-20)=35(首)。

    五言绝句有:35+13=48(首)。

    答:五言绝句48首,七言绝句35首。

    解二:假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首。字数分别是20×23=460(字),28×10=280(字),五言绝句的字数,反而多了:460-280=180(字)。与题目中“少20字”相差:180+20=200(字)。

    说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加

    200÷8=25(首)。

    五言绝句有

    23+25=48(首)。

    七言绝句有

    10+25=35(首)。

    在写出“鸡兔同笼”公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7、例9和例10三个问题,当然也可以这样假设。现在来具体做一下,把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下,就会发现非常有趣的事。

    例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是(680-8×40)÷(8+4)=30(张)。

    例9,假设都是兔,鸡的只数是(100×4-28)÷(4+2)=62(只)。

    例10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是(20×13+20)÷(28-20)=35(首)。

    首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与“鸡兔同笼”公式比较,这三个算式只是有一处“-”成了“+”。其奥妙何在呢?当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。

    例11

    有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元。结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?

    解:如果没有破损,运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2(元)。因此破损只数是(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只)。

    答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶。

    请你想一想,这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗?

    例12 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分?

    解一:如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120(分)。那么第二次只做对30-24=6(题)得分是:8×6-2×(15-6)=30(分)。 两次相差:120-30=90(分)。

    比题目中条件相差10分,多了80分。说明假设的第一次答对题数多了,要减少。第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16(分)。(90-10)÷(6+10)=5(题)。

    因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对:30-19=11(题)。

    第一次得分:5×19-1×(24- 9)=90.

    第二次得分:8×11-2×(15-11)=80.

    答:第一次得90分,第二次得80分。

    解二:答对30题,也就是两次共答错

    24+15-30=9(题)。

    第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分)。答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分)。

    如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分。比题目中条件“第一次得分多10分”,要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是:(6×9+10)÷(6+10)=4(题)。

    第一次答错 9-4=5(题)。

    第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分)。

    第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分)。

    习题二

    1.买语文书30本,数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵0.44元。每本语文书和数学书的价格各是多少?

    2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克。甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克?

    3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次。一连运了若干天,有晴天,也有雨天。其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次。问一连运了多少天?

    4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分。小华得了76分。问小华做对了几道题?

    5.甲、乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分。每人各射10发,共命中14发。结算分数时,甲比乙多10分。问甲、乙各中几发?

    6.甲、乙两地相距12千米。小张从甲地到乙地,在停留半小时后,又从乙地返回甲地,小王从乙地到甲地,在甲地停留40分钟后,又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲、乙两地出发,经过4小时后,他们在返回的途中相遇。如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米,求两人的速度。



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